معماهای ریاضی
معمای شماره 1) کاغذ مستطیل شکلی را چندین بار تا کرده ایم. در هر مرحله تا بر روی خطی موازی دو ضلع و در وسط آن ها زده شده است تا به مستطیلی با مساحت نصف مستطیل قبل برسیم. واضح است که در هر مرحله این کار به دو روش (افقی و عمودی) امکانپذیر است. در نهایت، همه تا ها را باز کرده ایم و دیده ایم در مجموع ۳۱۸ خط تای افقی و عمودی تولید شده است. کاغذ چند بار تا شده است؟
الف) ۱۳ ب) ۱۴ ج) ۱۵۹ د) ۳۱۷ ﻫ) ۳۱۸
معمای شماره 2) میدانيم بين اعداد ۱۰۰ و ۱۰۰۰، چهار عدد طبيعی موجودند به طوری که هريک با مجموع مکعبات رقم هايشان برابرند و سه تا از آنها عبارت اند از ۴۰۷ ،۳۷۱ و ۱۵۳
آیا می توانید عدد چهارم را دقيقاً به دست آوريد و بگوييد در کدام يک از فاصله های زير قرار دارد؟
1) [300-400]
2) [400-500]
3) [500-600]
4) [600-700]
5) [700-800]
معمای شماره 3) مجموعه کلمات 1 تا 6 حرفی از حروف a و b را مانند کلمات لغت نامه مرتب می کنیم. 79 امین کلمه در این مجموعه مرتب کدام است؟
الف) baabba
ب) abaaaa
ج) baaabb
د) baab
هـ) baba
برای روشن شدن مفهوم مرتب کردن کلمات، مجموعه مرتب کلمات 1 تا 3 حرفی به ترتیب از چپ به راست برابر است با:
a, aa, aaa, aab, ab, aba, abb, b, ba, baa, bab, bb, bba, bbb
نهمین کلمه در آن، ba می باشد.
معمای شماره 4) یک جدول ۲×۴ داریم (شکل بالا). به تعدادی خانه از این جدول که محیط آن ها یک مستطیل تشکیل بدهد، یک زیر مستطیل گفته می شود. مثلاً هر خانه از این جدول، خود به تنهایی یک زیر مستطیل است؛ هم چنین کل جدول نیز یک زیر مستطیل است. برای هر زیرمستطیل از این جدول، اعداد درون آن زیر مستطیل را جمع کرده و روی یک کاغذ می نویسیم، سپس جمع تمام اعداد روی کاغذ را حساب می کنیم. حاصل این جمع چه قدر می شود؟
الف) ۸-
ب) ۸
ج) ۱۲
د) ۴۸
هـ) ۵۶
معمای شماره 5)
فردی از محل A می خواهد با حرکت های افقی و عمودی به نقطه ای از خیابان اصلی شهر (ضلع (BC برسد به طوری که مسیری که طی می کند کوتاه ترین مسیر باشد و از ابتدای شروع حرکت تا انتها دقیقاً در ۳ مکان تغییر جهت بدهد. (ضلع های AB و AC به ۱۰ قسمت مساوی تقسیم شده اند (. وی به چند طریق می تواند مسیر خود را انتخاب کند؟
الف) ۱۶۸
ب) ۲۴۰
ج) ۱۲۰
د) ۸۴
هـ) ۱۰۲۴
معماهای المپیادی و سخت برای تقویت فعالیت مغز
پاسخ معماهای ریاضی
پاسخ معمای شماره 1) گزینه ب صحیح می باشد.
در صورتی که تعداد تاهای افقی و عمودی به ترتیب x و y باشد، تعداد خطوط افقی و عمودی برایر با 2x-1 و 2y-1 خواهد بود (به ازای هر خط اضافه، تعداد نواحی دو برابر می شود.) در نتیجه اگر تعداد خطوط در انتها برابر 318 باشد داریم:
2x + 2y = 320 =(101000000)2
=
x+y = 14
پاسخ معمای شماره 2) گزينه (1) صحيح است.
یکی از این اعداد مطرح شده در همان ابتدا توجه ما را به خود جلب می کند:
371 = 33 + 73 + 13
هدف قصد محاسبه مکعب ارقام است و در این بین ارقام صفر و یک جذابیت های خاص خود را دارند! مخصوصا وقتی در جایگاه یکان قرار می گیرند.
با کمی دقت متوجه می شویم که رابطه زیر نیز برقرار است:
370 = 33 + 73 + 03
بنابراين، عدد ديگر ۳۷۰ است و در بازه [400, 300] قرار دارد.
پاسخ معمای شماره 3) گزینه الف
تعداد کلماتی که حرف اول آنها برابر a است و یک حرفی، دو حرفی، ...و شش حرفی می باشند، به ترتیب برابر 20، 21، 22، 23، 24، 25 می باشند که مجموع آنها برابر 1-26 یعنی برابر 63 می شود.
پس از کلمه شصت و چهارم به بعد همه کلمات با b شروع می شوند. تعداد کلماتی که با ba شروع می شوند 1-25 یعنی 31 می باشد. بنابرین از کلمه شصت و پنجم تا کلمه نود و پنجم (از جمله کلمه هفتاد و نهم) با ba شروع می شوند. تعداد کلماتی که با baa شروع می شوند برابر 1-24 یعنی 15 می باشد. بنابراین از کلمه شصت و ششم تا کلمه هشتادم، از جمله کلمه هفتاد و نهم، با baa شروع می شوند. با همین استدلال معلوم می شود که کلمه هفتاد و نهم، کلمه baabba می شود.
پاسخ معمای شماره 4) گزینه ب
برای محاسبه ی حاصل جمع موردنظر، تعداد دفعاتی که هر عدد در جمع به کار رفته را محاسبه می کنیم. این تعداد برابر است با تعداد زیرمستطیل هایی که آن عدد را شامل می شود.
به علت تقارن موجود، تعداد زیرمستطیل هایی که 5 را شامل می شوند با تعداد زیرمستطیل های دارای 5- برابرند. پس این دو خانه روی هم تاثیری در حاصل جمع نهایی ندارند.
برای 2 و 2- هم همین شرایط برقرار است. تعداد زیرمستطیل های شامل خانه ی 1 برابر است با: ۲×۴= ۸ (۲ انتخاب برای ضلع پایین مستطیل و ۴ انتخاب برای ضلع راست آن وجود دارد.)
پس حاصل جمع مورد نظر برابر ۸ است.
پاسخ معمای شماره 5) گزینه (الف) درست است.
فرض می کنیم حرکت اول به سمت راست باشد در این صورت برای رسیدن به BC ده واحد طی خواهد شد که آن را به صورت aaaaaaaaaa نمایش می دهیم. هدف قرار دادن سه علامت به نشانه ی مکان های تغییر جهت در بین aها می باشد که این امر به (9,3)C یعنی ۸۴ طریق امکان پذیر است ( بین هر دو a متوالی یک جا خالی برای قرار دادن مکان نما وجود دارد و بین ده عدد a مجموعا نه جای خالی وجود دارد).
اگر حرکت اول به سمت بالا باشد نیز برای رسیدن به BC به ۸۴ طریق می توان عمل کرد که مجموع کل مسیرهای مطلوب 84+84 یعنی ۱۶۸ خواهد شد.
معماهایی جالب و چالشی برای ورزش مغز
